Profesora Auziņa zinātnes sleja
Mārcis Auziņš: “Kādēļ lasīt manus tekstus? Man šķiet, ka dabaszinātnes mēs bieži mēdzam “ignorēt”, sakot, ka tās ir formālas, sausas un neinteresantas. Gribētos ļaut lasītājam ieraudzīt, ka tās ir daļa no mūsu dzīves – krāsainas un interesantas.”
Biogrāfijas pieturzīmes:
Mūsdienās, kad neirofiziologi māk noteikt, kādi cilvēka smadzeņu apgabali kļūst aktīvi noteiktu nodarbju laikā, ir konstatēts, ka praktiski tie ir vieni un tie paši gan tad, kad klausāmies mūziku, gan arī tad, kad nodarbojamies ar matemātisku problēmu risināšanu. Vai tā ir nejauši sagadījies? Iespējams, ka nemaz tik nejauši tas nav. Viduslaiku universitātēs Eiropā mācības tika sadalītas pamatkursos, kas bija gramatika, retorika jeb runas māksla un loģika, un augstākā līmeņa kursos. Mūsdienās tie atbilstu maģistra līmenim, kas burtiski nozīmētu “meistara vai skolotāja” kursi. Tie bija – aritmētika, ģeometrija, mūzika un astronomija. Šī dalījuma pirmsākumus var atrast jau Antīkajā Grieķijā, kur četras matemātiskās zinības bija aritmētika, ģeometrija, astronomija un mūzika.
Tātad mūzika, kas pieder mākslas pasaulei, ir iespraukusies starp pārējiem ļoti eksaktiem jeb zinātnes pasaulei piederošiem priekšmetiem.
Leģenda vēsta, ka pirmais pie domas, ka mūzikas skaņas var aprakstīt matemātiski, esot nonācis sengrieķu filozofs Pitagors. Kādu dienu viņš esot gājis garām kalēja smēdei un ievērojis, ka, kalēja veseri sitot pa laktu ar atšķirīgu spēku, tas skan dažādi – daži āmura sitieni asociējas ar basiem, citi ar tenoriem. Domājot par to, Pitagors esot sācis pētīt mūzikas instrumentu stīgas un saskatījis sakarību starp vibrējošas stīgas garumu un radītās skaņas augstumu. Viņš atklāja, ka, samazinot stīgas garumu uz pusi, tātad divas reizes, skaņas augstums palielinās par oktāvu, kas atbilst skaņas augstuma jeb, kā teiktu fiziķi, skaņas svārstību frekvences (stīgas svārstību skaitam sekundē) attiecībai divi pret vienu. Turpmākie pētījumi ļāva noteikt citas vienkāršas attiecības, kas atbilst mūzikā pazīstamiem harmoniskiem intervāliem, piemēram, ideālā kvinta, kur skaņu augstuma jeb frekvenču attiecība ir trīs pret divi, un arī ideālā kvarta ar skaņu attiecību četri pret trīs.
Vēlākajos gados šī ļoti vienkāršā atziņa par mūzikas intervālu matemātiskajiem pamatiem būtiski ietekmēja gan matemātiku, gan mūzikas teoriju. 17. gadsimta matemātiķis Gotfrīds Vilhelms Leibnics esot teicis, ka mūzika ir bauda, ko cilvēks izjūt no skaitļiem vai skaitīšanas, neapzinoties, ka tie ir skaitļi un ka viņš skaita…
Mūzikas baudītājiem varētu šķist, kam gan vajag un kāda jēga ar skaitļiem aprakstīt mākslu? Māksla ir vienkārši jābauda. Tā gan ir, gan nav taisnība. Katrs cilvēks mākslu uztver atšķirīgi. Cits, aizvēris acis, klausās un ļaujas skaņdarbam, kāds cits, piemēram, klausoties Baha “Mateja pasijas”, grib turēt priekšā no Bībeles evaņģēlija ņemto tekstu un kopā ar mūzikas klausīšanos sekot līdzi tekstam. Pazīstu arī tādus mūzikas adeptus, kas, klausoties skaņdarbu, vēlas turēt priekšā šī skaņdarba partitūru un tādējādi kopā ar dzirdi mūziku baudīt vēl ar citām maņām.
Matemātika tieši ienāk mūzikas pasaulē, kad, piemēram, kādam jānoskaņo klavieres, lai uz tām varētu atskaņot skaistu mūziku. Tātad stīgas ir jānospriego tā, lai klavieres labi skanētu. Ko nozīmē nekonkrētais – labi skanētu? Te nu es teiktu, ka sākas gan liela matemātika, gan arī daudz individuālu dzirdes īpatnību. Gribētos, lai visām skaņām, ko rada 88 baltie un melnie klavieru taustiņi uz lielajām klavierēm, izpildītos jau pieminētie kvintu, kvartu un citi intervāli. Taču izrādās, ka pat teorētiski visā taustiņu rindas garumā tas nav iespējams. Tā noskaņot klavieres neļauj matemātikas likumi.
Tad tiek meklēti dažādi kompromisi. Visbiežāk klavieres skaņo labi temperētā veidā. Tas nozīmē, ka katra nākamā skaņa, tās frekvence ir 1,06 reizes augstāka par iepriekšējo. Matemātiķi teiktu, ka skaņu frekvence pieaug precīzi eksponenciāli. Tad, oktāvā savietojot 12 skaņas, iegūstam gandrīz pareizus intervālus gan oktāvā, gan tercās, kvartās, kvintās un tā tālāk.
Vārds “gandrīz” šeit ir izšķirošs…
Tie, kas nav mācījušies mūzikas teoriju un vienlaikus matemātiku, noteikti jau no šā visa ir apjukuši. Bet tas tikai nozīmē, ka matemātikas mūzikā ir daudz un tā nemaz nav tik vienkārša un acīm redzama.
Bet ar to viss nebeidzas. Ja katrs tonis mūzikas instrumentā būtu tikai noteikts svārstību skaits sekundē vien, tad visi instrumenti skanētu vienādi un skaņa būtu tāda “pliekana” un neinteresanta. Patiesībā katra skaņa, ko rada mūzikas instruments, sastāv no pamattoņa, kas nosaka, ka šī skaņa ir, piemēram, do, bet tai ir arī virstoņi. Tas nozīmē, ka pamattonim ir piejaukti virstoņi – pirmais virstonis ar divreiz lielāku frekvenci, otrais ar trīsreiz lielāku frekvenci un tā tālāk. Šie virstoņi nosaka skaņas tembru. Katram instrumentam virstoņu “daudzums” atšķiras. Tādēļ visas klavieres nav vienādas un Stradivāri vijole atšķiras no kādas mūsdienās darinātas vijoles.
Un tad pie visa klāt nāk vēl cilvēka auss. Cik zemus un cik augstus skaņu toņus cilvēks spēj uztvert? Katrs citādi. Bet var apgalvot, ka vidēji zemākā skaņa, ko mēs dzirdam, atbilst apmēram divdesmit svārstībām sekundē, bet augstākā divdesmit tūkstošiem svārstību sekundē. Labi mūzikas instrumenti visu šo skaņu diapazonu vairāk vai mazāk nosedz. Piemēram, klavieres taustiņš rindas kreisajā pusē spēj radīt ļoti zemu skaņu ar apmēram divdesmit septiņām svārstībām sekundē, bet pati augstākā skaņa, ko rada malējais taustiņš rindas labajā galā, atbilst vairāk nekā četriem tūkstošiem svārstību sekundē. Tie ir manis pieminētie pamattoņi. Vēl nāk klāt virstoņi.
Kā saprotam, noskaņot vienu mūzikas instrumentu ir ārkārtīgi sarežģīti, bet kā būt, ja jāspēlē lielam simfoniskam orķestrim kopā? Tas nav vienkārši! Katrs mūziķis savu instrumentu pirms koncerta skaņo, bet tad pašā pēdējā brīdī nepieciešama vēl pēdējā pieskaņošana. Pienāk brīdis, kad simfoniskās mūzikas koncerta apmeklētāji zina, ka tūlīt viss sāksies. Mūziķi savus instrumentus iemēģina un pieskaņo, līdz “pirmā vijole” pieceļas kājās, visi apklust, tiek uzdots pēdējais tonis, pie kā tad katrs vēl pieskaņo savu instrumentu. Un notikums var sākties.
Tās vēl ir tikai skaņas. Tad no tām veidojas ritms, harmonija un melodija. Un te atkal matemātika un mūzika nonāk tiešā saskarsmē. Saka, ka mūzikā svarīgs ir mūzikas “musturs”, tās struktūra. Bet ko dara matemātika? Tās galvenais uzdevums vienmēr ir bijis dažādu struktūru atklāšana un analīze. Struktūrām ir simetrija, tās var pārvietot, atspoguļot, izsekot no sākuma līdz beigām vai arī skatīties pretējā virzienā – no beigām līdz sākumam.
Ar šo mūzikas “musturu” komponisti nereti spēlējas tieši tāpat. Paceļot skaņu secību mazliet augstāk vai pazeminot, atkārtojot, spēlējot no otra gala un tā joprojām. To īpaši labi var ieraudzīt, ja mūzika ir pierakstīta nošu rakstā. Vizuāli, ģeometriski var redzēt šīs skaņu pārbīdes un atspoguļojumus. Tas ir vēl viens iemesls, kādēļ daži klausītāji grib turēt nošu partitūru sev priekšā mūzikas klausīšanās laikā.
Vai komponisti apzinās šo mūzikas struktūras saistību ar matemātiku? Katrs droši vien dažādi.
Ir mūzikas pētnieki, kas Baha skaņdarbos meklē autora it kā apzināti ieslēptus skaitļu kodus. Gandrīz kā kabalisti Bībeles tekstos meklē skaitlisku jēgu.
Par Baha mūziku un matemātiku ir dažādi viedokļi, bet brīžiem gan klasiķi, gan modernie komponisti nepārprotami apzināti izmanto iespēju ar mūziku spēlēties kā ar matemātisku struktūru. Viens tāds klasisks piemērs ir Mocarta opera “Figaro kāzas”. Opermīļi zina, ka opera sākas ar ainu, kur Figaro mēra laulības gultu. Viņa pirmie vārdi ir – pieci, desmit, divdesmit, trīsdesmit, trīsdesmit seši un četrdesmit trīs. Kādēļ tieši šādi skaitļi un tik daudz? Vēl vairāk – Bomaršē lugā, kas ir pamatā operai, iesākumā ir tikai divi skaitļi, platums un garums, un tie ir pavisam citi. Tad, lūk, Mocarta operas skaitļi summā dod 144 jeb divpadsmit kvadrātā. Sekojošajā duetā ir tieši 144 taktis. Operas pamattēma ir iezīmēta nākamajā rečitatīvā, kas kopā ar duetu veido tieši četras reizes 144 taktis. Tāda, lūk, numeroloģija! Bet nu atstāsim numeroloģiju malā. Vai tai ticēt vai ne, gaumes jautājums.
Taču ir neapšaubāmi, ka komponisti ar šīm struktūrām spēlējas apzināti. Tā Bahs “Goldberga variācijās” sāk ar vienu mūzikas tēmu un tālāk šo mūzikas struktūru modificē, spēlējas ar to, pārveido trīsdesmit dažādos veidos. Ir mūsdienu komponisti, kas atklāti savā mūzikā apspēlē pirmskaitļus. Matemātikā pirmskaitļi ir skaitļi, kas dalās tikai ar vieninieku un paši ar sevi. Tātad nav sadalāmi daļās. Ir tādi, kas savos skaņdarbos izmanto zelta šķēluma jeb perfektas proporcijas likumu. Atļaušos intrigu par zelta šķēlumu atstāt kādam citam stāstam, taču lasītājs pats var noskaidrot, kas tas ir, tāpat arī sameklēt un, galvenais, paklausīties skaņdarbus, kur tas tiek izmantots.
Profesora Auziņa zinātnes sleja
Vairāk
